【中学受験攻略】点を結んで三角形を数える場合の数の求め方をマスターしよう！

はじめに

「 場合の数 」の問題はこれで14問目、いったんこれでおしまいです。
最後の総仕上げの問題は少し難しいですよ！
これまでの復習も兼ねてがんばって勉強していきましょう。

「 場合の数 」の問題に挑戦ちょうせん！

下図のように、直線l上に3この点、直線m上に5この点があります。
この8この点から3こを選んで結び、3この点を頂点とする三角形を作ります。
全部で何種類の三角形ができますか。

解答

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解説を読んで「 場合の数 」を攻略こうりゃくしよう！

STEP1：8この点の中から3こを選ぶ

問題文からこの問題の答えをどのように求めればいいのかを考えましょう。
上に3この点、下に5この点があり、全部で8この点があります。
なので、8この点から3こを選べば答えを求められそうですね。

ポイントは3この点を選ぶというところです。
前にも説明したように、選ぶときと並べるときでは答えが変わってきます。

STEP2：選ぶときと並べるときに注意しよう

たとえば、3色の石を選ぶときと並べるときで考えてみましょう。
3つの石から3この石を選ぶ場合の数は●●●の1通りです。

でも並べる場合の数は？と聞かれると

●●●
●●●
●●●
●●●
●●●
●●●

の6通りあることがわかります。

8この中から3この点を選ぶ場合の数を数えます。
すると、8×7×6/3×2×1＝56通りとなります。

3×2×1で割るのはなんでか？

さっき説明したように、選ぶときと並べるときでは場合の数が全然ちがいます。
3こを並べるときに比べて、選ぶときは6（3×2×1）倍多く数えてしまうので、
今回は6で割るようにしましょう。

STEP3：3点を選んでも三角形が作れない場合がある

STEP2で8この点から3この点を選ぶ場合の数を56通りと求めました。
ですが、3こ選んだときに三角形ができない場合があります。

それが上の3つの点から3つの点を選ぶ場合と、
下の5この点から3こ選ぶ場合になります。

STEP4：三角形が作れない場合の数を求めよう

上の3つの点から3つの点を選ぶ場合は1通り。
下の5この点から3こ選ぶ場合は、

5×4×3/3×2×1＝10通りになります。
よって56通りのうち、

三角形ができない場合の数は11通りとなりますので答えは
56通り-11通り＝45通りです！

点を3こつなげてできる三角形の数を求める問題のまとめ

「 場合の数 」の問題で大事なポイント

「 選ぶとき 」の考え方
・選ぶときの場合の数と並べるときの場合の数はちがう
例外を考える
・全部の場合の数から、例外の数を引いて考える
・今回は56通りから11通りを引いて計算しましたね

以上で今日の問題は終わりです！
最後まで読んでくれてありがとうございました！！
次の問題で会いましょう！！！

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