【中学受験攻略】平面図形の基礎！多角形の内角の和の求め方とポイント

はじめに

みなさんこんにちは！！
今日は中学受験算数の「平面図形」について勉強していきましょう！！
まずは多角形の内角についてかんたんに勉強しておきましょう！

多角形の内角の和は三角形の数で求められる！

みなさんは三角形の内角の和が180°であることを知っていますか？
内角は図形の内側うちがわにある角度のことです！

たとえば三角形では、内角は3つあります！
四角形の内角は4つあるし、五角形の内角は5つありますね！

多角形の内角の和は「三角形の内角の和が180°」だと知っていればかんたんに求められます。

四角形と五角形に注目していきましょう。
ここでは補助線ほじょせんといって、図形に線を引いていきながら考えていきましょう。
四角形の場合、三角形を2つ作ることができます。

ここから、四角形の内角の和＝三角形の内角の和×2なので
180°×2=360°と求めることができます。

同じように五角形も三角形が3つ作れるので、
五角形の内角の和＝180°×3=540°と計算できますね。

このように三角形の180°だけ覚えていれば、多角形の内角の和を求めることができます。
今回の問題はこちらを覚えておけば解くことができますよ！
さっそく問題を見ていきましょう〜。

問題に挑戦ちょうせん！

次の問いに答えなさい。
① 八角形の内角の和を求めなさい。
② 内角の和が1620度である多角形は、何角形ですか。

解答

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解説を見てみよう！

STEP1：多角形の内角の和は三角形がいくつあるかが大事

まずははじめにの復習です。

①で知りたいのは八角形の内角の和なので、この八角形に三角形がいくつあるのかを考えていけば、
かんたんに答えを出すことができます！

STEP2：八角形には三角形はいくつあるのか

八角形の中に三角形がいくつあるのか？については表を書いても分かりますし、
実際じっさいに八角形を書いてみて補助線ほじょせんを引いても求めることができます。

今回は八角形の中に三角形が6つあることがわかったので、
八角形の内角の和は180°×6つ＝1080°と計算できますね。
ここまでが①の計算でした〜。

STEP3：1620°は三角形がいくつ集まったもの？

続いて②を求めてみましょう。
②の問題では①とは反対で内角の和だけがわかっていますね。

なので②では1620°という数字に注目して問題を解いていきましょう。
三角形一つの内角の和が180°なので、1620°の中には
1620°÷180°＝9つ

9つの三角形がこの多角形にあることがわかりますね。
それではあともう少しです！

STEP4：三角形の数から答えを求めよう

先ほど、STEP2で表を書いて計算しても答えが出せるとお話ししました。
今回は多角形とその中にある三角形の数について表を書いてみましょう。

たとえば、
三角形の中にある三角形の数は1つ
四角形の中にある三角形の数は2つ
五角形の中にある三角形の数は3つ

という感じで、多角形は三角形の数よりも２小さいことがわかると思います。

今回は三角形の数が9つなので、多角形は9+2＝11
十一角形と求めることができました。

多角形の内角の和を求める問題のまとめ

今回の問題で大事なポイント

三角形の内角の和は180°（はじめに）
多角形の内角の和の求め方（はじめに、STEP1、2）
線を引いて三角形を作ろう
かんたんな例を使って考えてみよう（STEP4）

以上で平面図形の今日の問題はおしまいです。
おつかれさまでした〜！！

今回の問題で特に大事だったのは、すぐに答えを計算しないという点でした。

たとえば、①の問題を解くときに八角形の内角の和を求める前に
まずSTEP1で三角形、四角形の内角の和を確認しましたね？

これは①の問題で計算ミスをなくすために考えています。

いきなり計算したらまちがえても気づけないけど、
かんたんな例（三角形や四角形の内角の和）を確認しておけば
ケアレスミスをなくすことができるんです。

かんたんな例で考えるときのポイント

①あり得ないミスを防ぐ

かんたんな例で考えることには、大きく2つのポイントがあります。
一つ目はあり得ないミスを防ぐことです。

三角形の内角の和が180°、四角形の内角の和が360°となっているのに
八角形の内角の和が3600°なんて出てきたらさすがにおかしいって気づきますよね？

このようなあり得ない数字に気づけないと、テストでミスしたときにとても悔くやしい思いをしてしまいます。

少しでも不安に感じたらすぐにこのテクニックを使いましょう。

②応用問題も解きやすくなる

かんたんな例で考えるということは物事ものごとを細かく考えて、シンプルにするということでもあります。

むずかしい問題が出てきたときに、頭の中で計算しようとしてパンクさせるのではなく、
問題文の言っていることを1つずつかんたんにし、
理解することが正解への近道だと感じています。